Prímszámok
A
prím (vagy törzsszám) fogalmát valószínű, hogy már az
egyiptomi és mezopotámiai ókori kultúrák is ismerték.
Tudomásunk szerint a számok és közöttük a prímszámok
első, tervszerű tanulmányozói a püthagoreusok voltak
(i.e. 500-350).
A
törzsszámokra először Eukleidész-nél találunk
pontos meghatározást. Olyan számok ezek, írja, melyek
"csak az egységgel" mérhetők. Azt is bizonyította, hogy
végtelen sok törzsszám van.
A
törzsszámok kiválasztására Eratoszthenész mutatott
ötletes eljárást (Eratoszthenész szitája).
Korán
felvetődött az a kérdés, hogy a prímszámok miként oszlanak
el a természetes számok között. Az első sejtés a 15
éves Gauss-tól származik. Logaritmustábláját
nézegetve észrevette, hogy az ezres számkörben a prímszámok
száma, fordítottan arányos a számok logaritmusával…
Jelöljük
az "n" természetes számnál nem nagyobb prímszámok
számát x(n)-nel. Legendre, aki már 1.000.000-ig
vizsgálta át a prímszámok előfordulását, úgy tapasztalta,
hogy
x(n)
= 1 / (ln(n) -1,08366)
Csebisev
kimutatta, hogy ez a képlet helytelen, és igazolta,
hogy az x(n) függvény nagyságrendje úgy
növekszik, mint az "n / ln(n)" , és az "x(n)
/ (n / ln(n))" hányados számára alsó és felső
korlátot állapított meg.
Ezt
a becslést 1882-ben Sylvester angol, majd 1929-ben
Issai Schur német matematikus pontosabbá tette.
Csebisev
arra is rájött, hogy az x(n) függvény értékei
egy határozott integrál értékei körül oszcillálnak.
Ezt az eredményt használta fel 1896-ban Vallée Poussin
és Hadamard, egymástól függetlenül, hogy
bizonyítsák, az ún. prímszámtételt.
Megoldatlan
még az ikerprímszámok kérdése. Sejtésünk szerint végtelen
sok ikerprímszám van. A valószínűség számítás eszközeivel,
bizonyos, nem igazoltan teljesülő feltételek esetén
úgy tűnik, hogy 0 és n között, n / (ln(n))2
számú prímpár található.
A
prímszámok jelentősége, napjainkban igen megnövekedett,
mert a titkosításban (kódolásban) kulcsszerepet játszanak…
