Buffon féle tűprobléma

 

Ez egy látszólag hihetetlen történet. Hogy miért, az nemsokára kiderül…

De kezdjük egy kicsit messzebbről. A Pi, a kör területének kiszámításakor jelent meg, mint probléma. Már az i.e. 2000 körüli időkből származó egyiptomi Rhind papiruszon található egy képlet, ami erre a probléma megoldására vonatkozik. Alkalmazva a képletet 3,1605 értéket kapunk, ami ebben az időben csodálatos pontosságnak számított…

Ugyan ekkor Mezopotámiában egy lényegesen durvább közelítő értéket használtak, és szinte minden országban, minden matematikával foglalkozó tudós más és más közelítést használt.

Kínában a Han-dinasztia alatt elrendelték a mértékegységek egységesítését. Ezt a munkát Liu Ci csillagász hajtotta végre. Ekkor történt a matematika történetében az az egyedülálló eset, hogy törvény szabta meg a Pi, értékét (3,1547 volt).

A Hinduk 500 körül már 3,1416-tal számoltak. A Perzsák 16 tizedes jegyig számították ki az értékét. 1784.-ben Shancks, angol matematikus 30 évi munkával 707 tizedes jegyig számította ki, de 1944.-ben a szintén angol Fergusson kimutatta, hogy az 528. Tizedestől kezdve tévedett…

Már a XVIII. századtól tudták, hogy irracionális szám, jelölésére a görög "Pi" betűt 1739.-ben Euler javasolta.

Most pedig nézzük, hogy mi is kötődik Buffon gróf nevéhez ? A legenda szerint felesége rendszeresen kötögetett, és gyakran kiesett a kezéből a kötőtű. Padlójukat, párhuzamosan lefektetett deszkalapok borították, ezért a leeső tű néha metszette, néha pedig nem metszette, a padlólapok illesztéseinél látható vonalakat.

Állítólag ez késztette Buffon grófot arra, hogy 1777.-ben, elsőként bevezesse a geometriai valószínűség fogalmát. Képletben adta meg, hogy mi a valószínűsége annak, hogy a leeső tű metszi a padló vonalát (ez nyílván függ a vonalak távolságától, és a tű hosszától, és szerepel benne a Pi, értéke is).

A zürichi Rudolf Wolf 1850.-ben a képletet átrendezte, Pi értékére.

A vonalak távolsága 45 mm volt, 35 mm-es tűt használt, amit 5000 szer dobott fel, és számolta, hogy hányszor metszi a vonalak egyikét. A kapott értéket behelyettesítette a képletbe és 3,1596 jött ki neki. Természetesen "végtelen számú" feldobás hozna pontos közelítést, de ha figyelembe vesszük, hogy egyszerű tűdobálással számította ki ezt az értéket…