A kör négyszögesítése

 

Az időszámításunk kezdete előtti VI. század táján vetődött fel a görögöknél a három nevezetes ókori szerkesztési probléma között a kör négyszögesítésének feladata. Lehet-e szerkeszteni körzővel és vonalzóval adott körhöz, vele egyenlő területű négyszöget ?

A kérdés jelentősége abban rejlik, hogy euklideszi szerkesztéssel a feladat megoldhatatlan, de mire ez kiderült, akkorára a megoldást keresők megnyitották a matematika sok ismeretlen területét a kutatás számára. A feladat talán a legnagyobb érdeklődést vívta ki évszázadokon át még a laikusok körében is, minden népszerűvé vált matematikai probléma között.

A XVII. századig, a differenciálszámítás feltalálásáig, a kör négyszögesítését elemi szerkesztési eljárásokkal akarták megoldani. E törekvés főbb eredményei:

1. Az ókori görög matematikusok igen sok szellemes nemeuklideszi szerkesztést találtak ki. Az első eredményeket Hippokratész érte el. Számos, körívekkel határolt síkidomot (pl. Hippokratész holdacskái) alakított át ugyanolyan területű négyszöggé !

2. Deinosztratosz a Hippiász által feltalált triszektrix (kvadratrix) görbét használta fel a körkerület megszerkesztésére. Arkhimédész a róla elnevezett spirális segítségével szerkesztette meg a körkerületet, amelynek ismeretében a négyszögesítés már megoldható, hiszen az "r" sugarú kör területe megegyezik annak a háromszögnek a területével, amelynek alapja a kör kerülete, magassága pedig a kör sugara. Persze sem Deinosztratosz, sem Arkhimédész szerkesztése nem euklideszi, mert a segítségül hívott görbék euklideszi módon nem szerkeszthetők meg…

Euklideszi szerkesztéssel azonban számos jó közelítő szerkesztés született. Ezek közül talán a legismertebb Kochanski szerkesztése. A félkör kerületét, négy tizedes pontossággal szerkesztette meg !!! Szerkesztésének leírása:

Rajzoljunk OA =1 sugarú kört és ennek egyik átmérőjét, AB-t. Az átmérő B végpontjához rajzoljunk érintő egyenest, és ebből a végpontból mérjük fel a BC=OA húrt.

A BC húr felező merőlegese kimetszi az érintőn a D pontot. A D pontból az érintőre, a B érintőpont felé indulva, mérjük fel a DE = 3 OA távolságot.

Végül húzzuk meg az EA szakaszt. A Pitagorasz-tételnél többet nem kívánó számítással belátható, hogy AE ~ 3,14153...

1882-ben Lindemann német kutató bebizonyította, hogy a "pí", transzcendens szám, azaz racionális együtthatós algebrai egyenletnek gyöke nem lehet. Akkor pedig már Galois munkái alapján tudták, hogy az ilyen szám euklideszi szerkesztéssel nem kapható meg…

A feladatról tehát bebizonyosodott megoldhatatlansága, de a laikus körnégyszögesítők száma azért nem csökkent. A Francia Akadémia, már 1775-ben nem fogadott el ilyen tárgyú dolgozatot, ha nem szakember írta, mert a beérkező dolgozatokat, egyszerűen nem voltak képesek feldolgozni… Nehéz megérteni, hogy miért lett ennyire népszerű ez a feladat a nem matematikusok között. Tény azonban, hogy sokan még ma sem tudnak belenyugodni a feladat megoldhatatlanságába…